Движение тела можно описать не только с помощью формул, но и с помощью графиков движения. По графикам движения можно узнать путь, пройденный телом, его координату (то есть местоположение), расстояние от тела до какой-либо точки и, наконец, скорость тела. Надо только понимать язык графиков. Данный урок позволит тебе этому научиться.
Допустим, что тело движется по некоторой прямой, вдоль которой мы направим и ось координат X. При движении тела его координата будет изменяться. Например, в начальный момент времени t=0 тело находится в положении X0 (X0 называется начальной координатой), а в моменты времени t1, t2, t3 и t4, в точках с координатами X1, X2, X3 и X4. Отложив на горизонтальной оси время, а на вертикальной оси координату, получим график зависимости координаты от времени X(t) (X(t) - читается "икс от тэ" и означает, что величина X изменяется в зависимости от величины t).
График координаты позволяет нам узнать положение тела: - откуда оно начало движение (начальная координата); - в какой точке тело закончило движение (конечная координата); - где тело находилось в некоторый момент времени t (текущая координата). Например, автомобиль начал свое движение от дорожного знака (начальная координата X0=1,5 км), завершит движение в точке с координатой X=4 км, а в момент времени t=90 с находится в точке с координатой X=3 км (рис.2).
График координаты, соответствующий данному движению автомобиля будет иметь вид, показанный на рис. 3. Заметим, что линия графика координаты начинается не в нуле, а при значении X=X0.
По графику координаты можно определить путь, пройденный телом. В случае прямолинейного движения без изменения направления путь равен модулю разности текущей (или конечной, если движение закончено) и начальной координат (рис. 4).
Разность координат берется по модулю из-за того, что тело может двигаться не только по направлению оси координат, но и противоположно ей и тогда разность координат будет отрицательной, а путь - величина всегда неотрицательная. Таким образом, чтобы с помощью графика координаты найти путь, пройденный телом за время от t1 до t2, надо определить соответствующие этим временам координаты X1 и X2 и найти модуль их разности. Например, путь, который автомобиль (рис. 3) прошел за время от 90 с до 150 с, равен S=|X(150 c)-X(90c)| = 4км-3км = 1км, а полный путь за все время движения Sполн=|X(150 c)-X0| = 4км-1,5км = 2,5км.
Обратим внимание на то, что при движении по направлению оси X, координата возрастает и линия графика направлена вверх (рис.3). Если же автомобиль будет двигаться в направлении, противоположном направлению оси Х (рис. 5), то координата с течением времени будет уменьшаться и график координаты будет направлен вниз (рис. 6).
Всегда ли график координаты представляет собой прямую линию? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрите внимательно, на сколько меняется координата автомобиля за равные промежутки времени, например за 45 с.
Видно, что координата изменялась на одну и ту же величину. То есть, за равные промежутки времени автомобиль проходил равные пути. Говоря иначе, движение автомобиля было равномерным, и график координаты при равномерном движении является прямой, выходящей из точки X0. Если же движение станет неравномерным, то график координаты не будет прямолинейным. Проверим это на следующем опыте (рис. 8). Действие привязанного к тележке груза заставляет ее разгоняться. Положение тележки определяется с помощью ультразвукового дальномера, соединенного с компьютером, который выводит на экран график движения тележки.
Полученный в результате опыта (рис. 8) график неравномерного движения тела не является прямой линией. Проверим этот факт, построив график по таблице координат разгоняющегося автомобиля. Допустим, координата автомобиля менялась так, как показано в следующей таблице:
Видно, что автомобиль за равные промежутки времени проходит все большие пути: движение неравномерное - автомобиль увеличивает скорость. Посмотрим теперь на график координаты (рис. 9).
График координаты в случае неравномерного движения перестает быть прямолинейным. Линия графика может идти как угодно, но только не по прямой. Это надежный признак, благодаря которому одного взгляда на график достаточно, чтобы понять: равномерно или неравномерно движется тело (рис.10).
Посмотрим еще раз на график координаты разгоняющегося автомобиля (рис.9). Видно, что наклон графика относительно оси времени увеличивается. Можно предположить, что чем больше скорость, тем круче идет линия графика (вверх - при движении по направлению оси координат или вниз, если тело движется против оси координат).
Проверим это на примере равномерного движения двух тел, первое из которых имеет скорость 1 м/с, а второе - 2 м/с.
Действительно, если скорость тела больше, значит оно быстрее меняет свое положение и график координаты быстрее возрастает (или убывает).
С помощью графика координаты можно рассчитать скорость тела. Для этого следует выбрать две любые точки на графике (лучше, если они совпадают с делениями на осях X и t). Модуль разность координат этих точек будет равен пути, пройденному телом, а разность времен - времени движения. Отношение |X2-X1|/(t2-t1) будет равно скорости движения тела.
Если тело не движется, его координата не изменяется и график координаты будет являться прямой, параллельной оси времени (рис.14).
Пересечение графиков координат двух тел означает их встречу.
Подведем итоги: 1. График зависимости координаты от времени X(t) в случае равномерного прямолинейного движения является прямой, выходящей из точки, равной начальной координате тела X0. 2. График координаты может быть направлен как вверх (если тело движется по направлению оси координат), так и вниз (если тело движется против направления оси координат). 3. Пересечение двух графиков координат двух тел означает их встречу. 4. Наклон графика координаты зависит от скорости движения тела: чем больше скорость, тем сильнее вверх или вниз наклонена линия графика координаты. 5. Если тело неподвижно, график координаты параллелен оси времени. 6. По графику координаты можно рассчитать скорость тела.
Взглянем еще раз на рисунок, показывающий положение автомобиля (рис.15).
Видно, что текущая координата тела - это сумма начальной координаты и пути.
График пути имеет много общего с графиком координаты, но и имеет ряд существенных отличий. Свойства графика пути: 1. График зависимости пути от времени S(t) в случае равномерного прямолинейного движения является прямой, выходящей из нуля. 2. График пути может быть направлен только вверх, так как пройденный путь во время движения тела всегда только увеличивается. 3. Пересечение двух графиков пути двух тел не означает их встречу, а свидетельствует лишь о том, что тела прошли одинаковые пути (в общем случае, в разных направлениях). 4. Наклон графика пути зависит от скорости движения тела: чем больше скорость, тем сильнее наклонена линия графика пути. 5. Если тело неподвижно, график пути параллелен оси времени. 6. По графику пути можно рассчитать скорость тела.
Однако под словами график движения скрываются две, вообще говоря, различные зависимости: зависимость пройденного пути от времени движения и зависимость расстояния от движущегося объекта до некоторой точки. Понятно, что график первой из них должен быть графиком неубывающей функции, так как пройденный путь уменьшиться никак не может. По графику пути можно легко определить, когда делалась остановка и сколько она продолжалась - это выражается участком графика, параллельным оси абсцисс. Можно также определить, какой путь был пройден за тот или иной временной интервал, а значит, и найти на нем среднюю скорость движения. С другой стороны, по графику расстояния можно получить лишь информацию о том, как с течением времени изменялось расстояние от начала отсчета. Заметим, что если расстояние в какой-то промежуток времени не изменяется - это еще недостаточное основание для вывода об остановке; так, например, при движении по окружности расстояние до ее центра не изменяется. В то же время, в отличие от пройденного пути, ничто не мешает расстоянию уменьшаться. Понятно, что по графику расстояния (за исключением случая, когда движение происходит по прямой, на которой расположена точка отсчета) принципиально невозможно судить, как меняется пройденный путь, и, следовательно, нельзя найти скорость движения. В качестве приведем траекторию движения туристов, совершающих поход из пункта A в пункт B (рис. 17).
Отметки на траектории показывают, что туристы движутся равномерно и график пути S(t) будет прямой линией, в то время как расстояние туристов до путнктов A и B, то возрастает, то убывает и график расстояния R(t) от времени может идти как вверх, так и вниз.